Задача

$(2,3,5):2+3+5=10,2\cdot 3\cdot 5=30.$

Это единственная тройка натуральных чисел с суммой $10$ и произведением $30$.

Базовый уровень

Перебираем тройки натуральных чисел с суммой $10$ и проверяем произведение:

• $(1,1,8)$: $1\cdot 1\cdot 8=8$. Нет.
• $(1,2,7)$: $14$. Нет.
• $(1,3,6)$: $18$. Нет.
• $(1,4,5)$: $20$. Нет.
• $(2,2,6)$: $24$. Нет.
• $(2,3,5)$: $30$. Да!
• $(2,4,4)$: $32$. Нет.
• $(3,3,4)$: $36$. Нет.

Подходит только $(2,3,5)$.

Бонус (все тройки)

Из перебора выше: только одна тройка — $(2,3,5)$.

Систематический приём: фиксируем наименьшее число $a$ и ищем пары $(b,c)$ с $b+c=10-a$ и $b\cdot c=30/a$. Для каждого $a$:

• $a=1$: надо $b+c=9$ и $b\cdot c=30$. Таких натуральных $b,c$ нет ($30$ не раскладывается на два множителя с суммой $9$).
• $a=2$: $b+c=8$, $b\cdot c=15$. $(3,5)$ ✓.
• $a=3$: $b+c=7$, $b\cdot c=10$. $(2,5)$ — но $a=3$, а в тройке уже $(3,2,5)=(2,3,5)$ — та же.
• $a=4$: $b+c=6$, $b\cdot c=30/4$ — не целое. Нет.

Единственная уникальная тройка — $(2,3,5)$.

Для продвинутых

Сумма $12$, произведение $30$. Тем же приёмом:

• $a=1$: $b+c=11$, $b\cdot c=30$. $(5,6)$: $5+6=11$, $5\cdot 6=30$ ✓ → $(1,5,6)$.
• $a=2$: $b+c=10$, $b\cdot c=15$. $(3,5)$: сумма $8\ne 10$. Нет.
• $a=3$: $b+c=9$, $b\cdot c=10$. $(2,5)$: сумма $7\ne 9$. Нет.

Одна тройка: $(1,5,6)$.

Сумма $10$, произведение $24$. Перебор:

• $(1,3,6)$: $18$. Нет.
• $(1,4,5)$: $20$. Нет.
• $(2,2,6)$: $24$. Да!
• $(2,3,5)$: $30$. Нет.
• $(1,2,7)$: $14$. Нет.

Одна тройка: $(2,2,6)$.

Приём. Зафиксируй наименьшее число $a\in \{1,2,3,\dots \}$ (ограничение сверху: $a\le \text{сумма}/3$). Для каждого $a$ ищешь пары $(b,c)$ с известными $b+c=\text{сумма}-a$ и $b\cdot c=\text{произведение}/a$ (только если произведение делится на $a$). Пара однозначно восстанавливается как корни уравнения — но в натуральных подходит простой перебор делителей.

Смотри: три числа, сумма $10$, произведение $30$. Быстрый путь — разложить $30$ на простые множители: $30=2\cdot 3\cdot 5$. Сложи их: $2+3+5=10$. Сошлось — тройка $(2,3,5)$ готова за пять секунд.

Если жест не сработал сразу (не все числа удаётся быстро разложить), пойди перебором: $(1,1,8),(1,2,7),(1,3,6),(1,4,5),(2,2,6),(2,3,5),\dots$ — и проверяй произведение. Только $(2,3,5)$ даёт $10$ и $30$ одновременно.

Тут вся суть: разложить на простые — самый быстрый путь, перебор — запасной. Тройка $(2,3,5)$ — готово. Вот и всё.

Здесь: $(2,3,5)$ — единственная тройка с суммой $10$ и произведением $30$, быстрый жест — разложить $30$ на простые множители. Работает приём «фиксируй наименьшее, ищи пару»: зафиксируй $a$ из $\{1,2,\dots \}$, для каждого проверяй пару $(b,c)$ с нужными суммой и произведением. Ограничение сверху: $a\le \text{сумма}/3$ (иначе $a$ не наименьшее). Не работает, если среди делителей произведения не нашлось пары с нужной суммой — значит троек нет (как при сумме $10$ и произведении $100$).