Задача

$\text{Нет.}$

Последнее число всегда нечётное, а $0$ — чётное.

Мотив: ходов слишком много, чтобы перебирать. В таких задачах ищут инвариант — величину, которая не меняется от хода к ходу (или меняется предсказуемо). Она ограничит возможные финалы.

Наблюдение о чётности. Сравним $a+b$ и $|a-b|$:

$a+b\text{и}|a-b|.$

Разница между ними равна $2\cdot \min (a,b)$ — чётному числу. Значит $a+b$ и $|a-b|$ имеют одинаковую чётность (либо оба чётные, либо оба нечётные).

Как это работает на доске. При ходе мы стираем $a$ и $b$, пишем $|a-b|$. Сумма всех чисел на доске изменяется так:

$S_{\text{ново}}=S_{\text{было}}-a-b+|a-b|=S_{\text{было}}-(a+b-|a-b|).$

Вычитаемое $a+b-|a-b|$ — чётное число (по наблюдению выше). Значит чётность суммы $S$ сохраняется после каждого хода. Это и есть инвариант.

Начальная сумма.

$S_0=1+2+3+\dots +10=\frac{10\cdot 11}{2}=55.$

Число $55$ — нечётное.

Финальная сумма = последнее число. После девяти ходов на доске осталось одно число $N$. Сумма всех чисел на доске теперь равна самому $N$. По инварианту $N$ — нечётное.

$0$ — чётное число. Значит $N\ne 0$. Нельзя.

Проверка примером. Стираем пары $(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10)$ — каждая даёт $|a-b|=1$. На доске пять единиц. Дальше:

• $|1-1|=0$ → доска: $\{0,1,1,1\}$.
• $|0-1|=1$ → доска: $\{1,1,1\}$.
• $|1-1|=0$ → доска: $\{0,1\}$.
• $|0-1|=1$ → доска: $\{1\}$.

Финальное число — $1$, нечётное, как и обещал инвариант.

Девять ходов — перебрать нельзя. Значит ищи то, что не меняется.

Смотри на один ход: убираем $a,b$, пишем $|a-b|$. Сумма на доске уменьшилась на $a+b-|a-b|$ — чётное число (если не уверен: $a+b$ и $|a-b|$ всегда одной чётности, их разница чётна).

Значит чётность суммы на доске сохраняется на каждом ходу. В начале сумма $1+2+\dots +10=55$ — нечётная. В конце — одно число, равное сумме, значит нечётное.

$0$ — чётное. Не сходится. Ответ — нет, ноль получить нельзя.

Здесь: сумма $55$ — нечётная, чётность сохраняется, значит последнее число нечётное. Работает приём «инвариант по модулю $2$»: когда ход меняет конфигурацию, но остаток от деления некоторой величины (суммы, произведения, числа элементов определённого типа) на $2$ не меняется — этот остаток исключает половину финалов. Не работает, если операция ломает чётность (например, $(a,b)\to a\cdot b$) — там нужен другой инвариант.