Задача

Одно из решений: $2+3\cdot 6=20$.

Всего пять решений (с точностью до перестановки $b$ и $c$):

$(a,b,c)\in \{(2,3,6),(4,2,8),(6,2,7),(8,2,6),(8,3,4)\}.$

Стратегия. По правилу порядка действий $b\cdot c$ — пачка, считается первой. Значит $a=20-b\cdot c$. Условия:

1. $a$ — цифра от $1$ до $9$, значит $b\cdot c$ от $11$ до $19$.
2. Все три цифры $a,b,c$ — разные, из $1$–$9$.

Перебираем произведения $b\cdot c\in \{11,12,\dots ,19\}$ и смотрим, какие пары цифр из $1$–$9$ дают такое произведение:

Пять решений. Остальные $(b\cdot c)$ либо простые (нет разложения из двух разных цифр $\le 9$), либо дают конфликт по цифрам.

Смотри: $a+b\cdot c=20$. Пачка $b\cdot c$ — первая, потом плюсуется $a$. Значит сразу понятно: $a=20-b\cdot c$.

Теперь вопрос — какое $b\cdot c$ берёт смысл? Ответ: число от $11$ до $19$ (потому что $a$ — цифра от $1$ до $9$). И чтобы $b\cdot c$ раскладывалось на две разные цифры из $1$–$9$.

Прямо пробежимся по произведениям $11,12,\dots ,19$:

• $11,13,17,19$ — простые. Для них $b=1$ и $c=11,13,\dots$ — но $c$ не цифра. Отпадают.
• $12=3\cdot 4=2\cdot 6$. $a=8$. Две тройки: $(8,3,4)$ и $(8,2,6)$.
• $14=2\cdot 7$. $a=6$. Тройка $(6,2,7)$.
• $15=3\cdot 5$. $a=5$ — конфликт, пятёрка повторилась.
• $16=2\cdot 8$. $a=4$. Тройка $(4,2,8)$.
• $18=3\cdot 6=2\cdot 9$. $a=2$. Первая тройка $(2,3,6)$ — ок. Вторая $(2,2,9)$ — конфликт, двойка повторилась.

Итого пять решений. Больше нет.

Тут вся суть Open Middle: задача про перебор по стратегии, а не по наитию. Ключ — увидеть «пачку $b\cdot c$» и сузить её диапазон до $11$–$19$. Дальше руки работают сами. Вот и всё.

Здесь: $a+b\cdot c=20$, пять троек. Работает стратегия «ограничь пачку по $a$»: раз $a\in \{1,...,9\}$, то пачка $b\cdot c\in \{11,...,19\}$. Дальше — перебор разложений на пары разных цифр. Не работает, если операция над пачкой не даёт такого прямого ограничения — например, $a\cdot (b+c)=20$: сразу пачкой не сузить, нужно пробовать $a=1,2,4,5,10$ и проверять, есть ли разложение $b+c$ с разными цифрами.