Задача

Мотив: на $3$ хвост не работает (в отличие от $2,5,10$). Другой приём — сложи все цифры. Если сумма делится на $3$, то и само число.

Почему так: $10=9+1$, $100=99+1$, $1000=999+1$. Каждый разряд даёт «кратное $9$» (а значит и $3$) плюс цифру. При делении на $3$ «кратное $9$» уходит без остатка — остаётся сумма цифр. Значит остаток всего числа при делении на $3$ совпадает с остатком суммы цифр.

Проверяем:

• $417$: $4+1+7=12$. $12=3\cdot 4$ — делится. ✓
• $528$: $5+2+8=15$. $15=3\cdot 5$ — делится. ✓
• $2024$: $2+0+2+4=8$. $8$ на $3$ не делится. —
• $999$: $9+9+9=27$. $27=3\cdot 9$ — делится. ✓
• $7301$: $7+3+0+1=11$. $11$ на $3$ не делится. —

На $3$ хвост не поможет — там другой приём: сложи все цифры, получи сумму, посмотри, делится ли она на $3$.

$417\to 4+1+7=12$, $12=3\cdot 4$ — значит и $417$ делится на $3$. $2024\to 2+0+2+4=8$ — не делится. $999\to 9+9+9=27=3\cdot 9$ — делится.

Почему сумма цифр? Посмотри: $10=9+1$. Девятка делится на $3$ и уходит в остаток $0$, а $1$ — это сама цифра. Так же и $100=99+1$, $1000=999+1$. У всего числа при делении на $3$ остаток такой же, как у суммы его цифр.

Здесь: $417,528,999$ делятся на $3$, потому что $4+1+7=12$, $5+2+8=15$, $9+9+9=27$ — все делятся на $3$. Работает приём «сложи все цифры» для делимости на $3$ (и на $9$ — только там сумма должна делиться на $9$). Не работает для других чисел: для $2,5,10$ — смотри хвост; для $4$ — смотри две последних цифры.