Задача

Смешанные числа перед умножением обязательно переводим в неправильные дроби. Умножать целые и дробные части отдельно нельзя — это грубая ошибка.

$1\frac{2}{3}=\frac{1\cdot 3+2}{3}=\frac{5}{3},2\frac{1}{4}=\frac{2\cdot 4+1}{4}=\frac{9}{4}$

Правило перевода смешанного числа в неправильную дробь: целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель.

$\frac{5}{3}\cdot \frac{9}{4}=\frac{5\cdot 9}{3\cdot 4}$

Правило умножения дробей.

Сокращаем: $9$ (числитель) и $3$ (знаменатель) делятся на $3$.

$\frac{5\cdot 9}{3\cdot 4}=\frac{5\cdot 3}{1\cdot 4}=\frac{15}{4}$

Основное свойство дроби в обратную сторону.

Переводим обратно в смешанное число: $15=4\cdot 3+3$, значит $\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$.

Дробь $\frac{3}{4}$ несократимая. Ответ: $3\frac{3}{4}$.

Смотри: $1\frac{2}{3}\cdot 2\frac{1}{4}$. Оба смешанных сразу переводим в неправильные дроби: $\frac{5}{3}$ и $\frac{9}{4}$. Дальше обычное умножение с сокращением: $9$ и $3$ делятся на $3$, получается $\frac{5\cdot 3}{1\cdot 4}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$. Вот и всё.

Где ловушка. Самая грубая ошибка — умножить «целые с целыми, дробные с дробными»: $1\cdot 2+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=2\frac{1}{6}$. Это несуществующее правило — оно ломается на прикидке: $1\frac{2}{3}>1$ и $2\frac{1}{4}>2$, значит произведение больше $2$. А $2\frac{1}{6}$ почти $2$ — явно недобор. Правильный ответ $3\frac{3}{4}$ — почти вдвое больше. Процедурная ловушка: ученик тащит приём из сложения (где по частям можно), в умножение (где нельзя).

Если застрял:

1. (метакогнитивная) Можно ли умножать смешанные числа «целые с целыми, дробные с дробными»? Прикинь результат на глаз до счёта.
2. (концептуальная) В умножении смешанных сначала переводим оба в неправильные дроби, потом обычная формула $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}$.
3. (процедурная) $1\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$, $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$. Теперь $\frac{5}{3}\cdot \frac{9}{4}$ с сокращением.
4. (bottom-out) В $\frac{5\cdot 9}{3\cdot 4}$ сократи $9$ и $3$ на $3$: останется $\frac{5\cdot 3}{1\cdot 4}=\frac{15}{4}$. Переведи в смешанное.

Здесь: перевели $1\frac{2}{3}\to \frac{5}{3}$ и $2\frac{1}{4}\to \frac{9}{4}$, сократили, получили $\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$.

Работает как универсальная привычка: смешанное в умножении или делении — всегда сначала в неправильную дробь, потом считай. Для сложения/вычитания можно по частям, но для умножения/деления — только через неправильные. Прикидка на глаз помогает ловить грубые ошибки: перед ответом прикинь диапазон ($1\frac{2}{3}\cdot 2\frac{1}{4}$ — это «чуть меньше $2\cdot 2$ = $4$, значит $\approx 3,5-4$»).