Задача

$\text{Ваня не прав. }345\text{ на }6\text{ не делится: }345=6\cdot 57+3.$

Разберём по частям.

Делится ли $345$ на $3$? Да. $3+4+5=12$, $12=3\cdot 4$ — делится. Эта часть верная.

Правило делимости на $6$. Число делится на $6$ тогда и только тогда, когда оно делится и на $2$, и на $3$ одновременно. Не «или» — а «и». Потому что $6=2\cdot 3$: чтобы разложиться на шестёрки, число должно «принимать» и двойки, и тройки.

Проверка $345$ на $2$. Хвост $5$ — нечётная цифра, значит на $2$ не делится.

Вывод. На $3$ делится, а на $2$ — нет. Значит и на $6$ не делится. Ваня проверил одно условие из двух и поспешил с ответом.

Проверка делением:

$345=6\cdot 57+3\text{(остаток }3,\text{ не ноль).}$

Ваня проверил, что $345$ делится на $3$ — это правда. Но для делимости на $6$ нужны сразу два условия: и на $2$, и на $3$. У шестёрки два «зуба» — каждый должен войти.

$345$ — нечётное (хвост $5$), на $2$ не делится. Один зуб сломан — значит на $6$ не пройдёт. Проверяем прямо: $345:6=57$ и остаток $3$. Действительно не делится.

Ловушка концептуальная: услышав «делимость на $6$», ученик думает «на $2$ или на $3$ — любое подойдёт». На самом деле — и на $2$, и на $3$, сразу оба. $6=2\cdot 3$, это не два отдельных варианта, а пара условий.

Хороший способ проверить себя — попробовать на $15$: на $3$ делится ($1+5=6$), а на $2$ нет (нечётное), значит и на $6$ нет. И правда: $15:6=2$ ост. $3$.

Если застрял:

1. (метакогнитивная) А на что ещё, кроме $3$, должно делиться число, чтобы делиться на $6$?
2. (концептуальная) $6=2\cdot 3$. Чтобы разложиться на шестёрки, число должно делиться и на $2$, и на $3$ сразу. Одного условия мало.
3. (процедурная) Проверь $345$ на $2$: последняя цифра $5$ — нечётная. Не делится. Значит на $6$ тоже не делится.

Здесь: $345$ на $3$ да, на $2$ нет — значит на $6$ нет. Работает приём «$6=2\cdot 3$: проверь оба условия, а не одно». Для сложных чисел делителя — разложи его на простые множители: $12=4\cdot 3$ (значит проверяй на $4$ и на $3$), $15=3\cdot 5$ (на $3$ и на $5$). Не работает для проверки на простое число ($7,11,13$): там единственный способ — делить напрямую, разложить простое нельзя.