Задача

$\text{Ошибка: сложил верхи и низы отдельно. Правильный ответ }\frac{5}{6}$

Ваня применил несуществующее правило — «сложить отдельно числители и отдельно знаменатели». Так складывать дроби нельзя.

Как правильно. Приведём дроби к общему знаменателю $6$:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1\cdot 3}{2\cdot 3}+\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$

Правило сложения дробей с разными знаменателями: сначала приводим к общему знаменателю, затем складываем числители (знаменатель остаётся общим).

Проверка здравым смыслом. $\frac{1}{2}$ — это уже половина. Прибавить к ней ещё $\frac{1}{3}$ — ответ обязательно больше половины. А $\frac{2}{5}$ — это меньше половины (потому что $\frac{2}{5}<\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}$). Значит, результат Вани неверен ещё до проверки расчётом.

Смотри, где Ваня промахнулся. Рисуем квадрат — это целое. Делим его на $2$ полосы (для $\frac{1}{2}$) и на $3$ колонки (для $\frac{1}{3}$). Получается сетка из $6$ клеток.

┌───┬───┬───┐
│ ● │ ● │ ● │  ← 1/2 = одна полоса = 3 клетки
├───┼───┼───┤
│ ● │   │   │  ← 1/3 = одна колонка = 2 клетки
└───┴───┴───┘   (пересекаются в 1 клетке, но суть не в ней)

$\frac{1}{2}$ — это $3$ клетки из $6$. $\frac{1}{3}$ — $2$ клетки из $6$. Вместе $3+2=5$ из $6$. Правильный ответ — $\frac{5}{6}$.

А $\frac{2}{5}$ — совсем другая сетка: $2$ клетки из $5$. Ваня думал, что если сложить «$1$ из $2$» и «$1$ из $3$», то выйдет «что-то из $5$». Но сетка для этих двух дробей — из $6$ клеток, а не из $5$.

Тут вся суть: Ваня сложил подписи клеток (двойку и тройку), а не сами клетки. Клетки $\frac{1}{2}$ — большие, $\frac{1}{3}$ — поменьше. Клетки разного размера складывать нельзя, пока не приведёшь их к одному размеру — к клетке сетки $2\times 3=6$. Вот и всё.

Если застрял:

1. (метакогнитивная) Нарисуй обе дроби на одной сетке. Какие клетки одинаковые по размеру?
2. (концептуальная) Дроби складываются только когда «кусочки одинакового размера» (одинаковый знаменатель). $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ — разного размера.
3. (процедурная) Приведи обе дроби к общему знаменателю $6$: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$. Теперь размер одинаковый — складывай числители.

Здесь: сетка $2\times 3=6$. $\frac{1}{2}=3$ клетки, $\frac{1}{3}=2$ клетки, вместе $5$ из $6=\frac{5}{6}$. Работает, когда нужно сложить две дроби «одна доля + одна доля» — сетка показывает общий знаменатель картинкой, без формул. Не работает для трёх и более дробей — рисовать $2\times 3\times 5$ не имеет смысла, там проще в решении через общий знаменатель.