Задача

• $37$ — простое.
• $51=3\cdot 17$.
• $91=7\cdot 13$.
• $97$ — простое.
• $111=3\cdot 37$.

Мотив: для проверки «простое или составное» пробуем делить на простые $2,3,5,7,\dots$ по возрастанию. Проверяем до квадрата, превышающего число — этого достаточно. Для чисел до $100$ хватает делителей до $7$ (потому что $11^2=121>100$).

$37$. На $2$ нет (нечёт), на $3$ — сумма $10$, нет, на $5$ — хвост $7$, нет, на $7$ — $37=7\cdot 5+2$, нет. Простые дальше ($11$) уже $11^2=121>37$ — проверять не надо. Простое.

$51$. На $2$ нет. На $3$ — сумма $6$, делится: $51=3\cdot 17$. $17$ — проверяли раньше, простое. Составное, $51=3\cdot 17$.

$91$. На $2$ нет (нечёт). На $3$ — сумма $10$, нет. На $5$ — хвост $1$, нет. На $7$ — $91=7\cdot 13$. $13$ простое. Составное, $91=7\cdot 13$. Это ключевое число задачи: легко поспешить и записать «простое», бросив проверку на $5$.

$97$. На $2$ нет, на $3$ — сумма $16$, нет, на $5$ — хвост $7$, нет, на $7$ — $97=7\cdot 13+6$, нет. Простые дальше: $11$, но $11^2=121>97$, проверять не надо. Простое.

$111$. На $2$ нет. На $3$ — сумма $3$, делится: $111=3\cdot 37$. $37$ простое (показали выше). Составное, $111=3\cdot 37$.

Проверять «простое/составное» — значит пробовать делить на простые по порядку: $2,3,5,7,\dots$ Проверяем, пока квадрат очередного простого не превысит число. Для чисел до $100$ этого хватает в пределах $2,3,5,7$ ($11^2=121$, дальше уже не нужно).

$37$: проверил $2,3,5,7$ — ни один не подошёл, число простое. $51$: на $2$ нет, на $3$ да ($5+1=6$), $51=3\cdot 17$, составное.

Главная ловушка задачи — $91$. На $2$ нет, на $3$ нет, на $5$ нет — и хочется сказать «простое». Но проверять надо до $7$ включительно: $91:7=13$. Составное, $91=7\cdot 13$.

Ловушка процедурная: бросить проверку на первом простом, которое «не подошло на вид», и объявить число простым. $91$ — классическое «почти простое», на нём спотыкаются даже сильные ученики.

$97$ похоже на $91$, но там $7$ тоже не делит — и больше проверять не нужно, простое. $111$ разоблачается признаком на $3$: $1+1+1=3$.

Если застрял:

1. (метакогнитивная) Какое простое ты ещё не проверил? Точно ли дошёл до $\sqrt{N}$?
2. (концептуальная) Пока квадрат очередного простого не превысил само число — надо проверять. Для чисел меньше $121$ хватает $2,3,5,7$.
3. (процедурная) Для $91$: $91:2$ — нет, $91:3$ — нет, $91:5$ — нет, $91:7=13$ — да. Составное, $91=7\cdot 13$.

Здесь: $91=7\cdot 13$ — классическое «почти простое», где бросают проверку на $5$. Работает приём «до $\sqrt{N}$ — не раньше»: проверяй делителей-простых, пока их квадрат не превысил $N$. Для чисел до $100$ — до $7$ включительно; до $200$ — до $13$ ($13^2=169$); до $1000$ — до $31$. Не работает «на глазок»: число выглядит простым, но коварные делители — $7,11,13,17,19$. Если есть сомнения — проверяй все простые до границы.