Задача

Мотив: знаменатели разные ($4$ и $6$), напрямую складывать нельзя — нужно привести к общему. Общий знаменатель — число, которое делится и на $4$, и на $6$ одновременно. Самое маленькое такое число — наименьшее общее кратное $\text{НОК}(4,6)$.

Ищем НОК. Выписываем кратные каждого:

• кратные $4$: $4,8,12,16,20,24,\dots$
• кратные $6$: $6,12,18,24,\dots$

Первое общее — $12$. Значит $\text{НОК}(4,6)=12$.

Приводим к общему знаменателю $12$.

$\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{3}{12},\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{10}{12}.$

Применили основное свойство дроби.

Складываем.

$\frac{3}{12}+\frac{10}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}.$

Проверка несократимости. $13$ — простое, $12$ на $13$ не делится. Ответ несократим.

Сравнение с путём через произведение. Если взять $4\cdot 6=24$ как общий знаменатель:

$\frac{1}{4}+\frac{5}{6}=\frac{6}{24}+\frac{20}{24}=\frac{26}{24}=\frac{13}{12}.$

Ответ тот же, но путь дольше: пришлось работать с большими числами и сокращать в конце на $2$. Через НОК — короче.

Помнишь полив Маши и Вани (divisibility-5-005)? Две линейки меток, первая общая отметка — это НОК. Теперь линейки размечены не днями, а знаменателями: на «четвёрочной» — $4,8,12,16$; на «шестёрочной» — $6,12,18$. Первое общее — $12$. Это наш общий знаменатель.

Дальше механика привычная: $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$. Складываем — $\frac{13}{12}$. Проверяем — $13$ простое, не сокращается.

Почему именно НОК, а не произведение $4\cdot 6=24$? Произведение тоже сработает, ответ получится тот же. Но $24$ в два раза больше, чем нужно, а значит числители станут крупнее и в конце придётся сокращать. Когда знаменатели имеют общие делители кроме $1$ (как $4$ и $6$ — оба делятся на $2$), НОК меньше произведения, и путь короче.

Вместе: $\frac{3+10}{12}=\frac{13}{12}$, или смешанно $1\frac{1}{12}$.

Если застрял:

1. (метакогнитивная) Какое число одновременно делится и на $4$, и на $6$? Самое маленькое.
2. (концептуальная) Общий знаменатель — это НОК знаменателей. НОК — первая общая отметка на двух линейках: $4,8,12,\dots$ и $6,12,\dots$ — общая $12$.
3. (процедурная) $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$ (умножили на $3$), $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$ (умножили на $2$). Сумма $\frac{13}{12}$.

Здесь: $\text{НОК}(4,6)=12$, не $24$ — потому что $4$ и $6$ оба делятся на $2$. Работает приём «если у знаменателей есть общий делитель кроме $1$ — бери НОК, а не произведение»: иначе получишь в $k$ раз больший знаменатель и будешь сокращать в конце на $k$. Когда знаменатели взаимно простые (общих делителей кроме $1$ нет, например $3$ и $4$ или $5$ и $7$) — НОК совпадает с произведением, и разницы нет (как в первой карте $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}$). Не работает «на глазок»: если сомневаешься — выпиши по $3-4$ кратных и найди первое общее.