Задача

Мотив: сократить $\frac{24}{36}$ — разделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Чтобы результат сразу стал несократимым, выбираем наибольшее такое число — их наибольший общий делитель, $\text{НОД}(24,36)$.

Находим НОД. Выписываем делители обоих:

• делители $24$: $1,2,3,4,6,8,12,24$;
• делители $36$: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$.

Общие: $1,2,3,4,6,12$. Наибольший — $12$. Значит $\text{НОД}(24,36)=12$.

Делим. Разделим верх и низ на $12$: $24\to 2$, $36\to 3$.

$\frac{24}{36}=\frac{2}{3}.$

Применили основное свойство дроби: если числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, значение дроби не меняется.

Проверка несократимости. Делители $2$: $\{1,2\}$. Делители $3$: $\{1,3\}$. Общий только $1$ — дробь несократимая. Ответ $\frac{2}{3}$.

Помнишь бабушкины пирожки в коробках (divisibility-5-006)? $\text{НОД}(12,18)=6$ — самая большая коробка, в которую оба числа раскладываются ровно. Тут то же самое: $\text{НОД}(24,36)=12$. Делим верх и низ на $12$ — получаем $\frac{2}{3}$.

Почему на НОД, а не на любой общий делитель? Если поделить на $2$: $\frac{24}{36}=\frac{12}{18}$ — и это ещё сокращается (можно ещё на $6$). Если поделить сразу на $\text{НОД}=12$ — одна операция, и дробь уже несократимая гарантированно.

$24$ и $36$ делились на $12$ без остатка — это и есть та самая коробка для дробей.

Здесь: $\text{НОД}(24,36)=12$, делим верх и низ на $12$ — сразу получаем $\frac{2}{3}$. Работает приём «делить на НОД = гарантия несократимости за один шаг». Не работает, когда НОД трудно найти в уме (числа большие или без очевидных общих делителей) — там проще сокращать по частям: сначала на $2$, потом на $3$ и так далее. Для чисел до $\sim 100$ метод «выпиши делители каждого, найди наибольший общий» быстрый; для больших перейдёшь на разложение на простые (будет дальше).