Задача

Мотив: размер коробки должен делить и $12$, и $18$ без остатка (иначе коробка не заполнится полностью). Ищем самое большое такое число.

Выписываем делители:

• делители $12$: $1,2,3,4,6,12$;
• делители $18$: $1,2,3,6,9,18$.

Общие делители (есть в обоих списках): $1,2,3,6$. Самый большой — $6$.

Это число имеет имя. Самое большое натуральное число, на которое делятся и $12$, и $18$, — наибольший общий делитель. Запись: $\text{НОД}(12,18)=6$.

Проверка: $12:6=2$ (получится $2$ коробки капусты), $18:6=3$ (получится $3$ коробки вишни). Оба деления без остатка — все пирожки разложены.

Коробка должна вмещать ровно — без половинок. Значит её размер делит и $12$, и $18$ без остатка.

Делители $12$: $1,2,3,4,6,12$. Делители $18$: $1,2,3,6,9,18$. Общие — $1,2,3,6$. Самая большая общая коробка — на $6$ пирожков. Получится $2$ коробки капусты ($12:6$) и $3$ коробки вишни ($18:6$).

Это число называется наибольший общий делитель — НОД (НОД — ищем Делители, число, на которое оба делятся).

Ловушка концептуальная: «НОД $=18$, ведь $18$ — наибольшее число». Нет: НОД — это наибольший общий делитель, не само число. $18$ не делит $12$, значит ни о каком общем делителе $18$ речи быть не может.

Сравни с задачей про полив (arithmetic-divisibility-5-005): там искали НОК (первая общая отметка на двух линейках, число делится на оба). Здесь ищем НОД (самая большая коробка, оба числа делятся на него). Дихотомия:

• НО-К → Кратные, ищем снаружи, ответ ≥ большего из чисел.
• НО-Д → Делители, ищем внутри, ответ ≤ меньшего из чисел.

Самая большая общая коробка — $6$ пирожков.

Если застрял:

1. (метакогнитивная) На какие числа делится $12$ без остатка? А $18$? Что общего в этих двух списках?
2. (концептуальная) Размер коробки должен делить оба числа без остатка. Из всех таких размеров выбираем самый большой.
3. (процедурная) Делители $12$: $1,2,3,4,6,12$. Делители $18$: $1,2,3,6,9,18$. Общие: $1,2,3,6$. Самый большой — $6$.

Здесь: общие делители $12$ и $18$ — это $1,2,3,6$, и наибольший $6=\text{НОД}(12,18)$. Работает приём «выпиши все делители каждого, найди наибольший общий»: для чисел до $30$ быстрее, чем формула. Не работает для больших чисел (списки длинные) — там переходи на разложение на простые: $12=2^2\cdot 3$, $18=2\cdot 3^2$, НОД берёт минимум каждой степени: $2^1\cdot 3^1=6$. Этот приём пойдёт в следующих картах.