Задача

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1.$

Это единственная раздача единичных дробей с разными знаменателями, в сумме дающими $1$.

Базовый уровень

Ищем три разных числа $a,b,c$, для которых $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$.

Подбираем. Разрежем блин на $6$ долек — это общий знаменатель, удобный и для половины, и для трети:

• $\frac{1}{2}$ блина $=3$ дольки из $6$;
• $\frac{1}{3}$ блина $=2$ дольки из $6$;
• $\frac{1}{6}$ блина $=1$ долька из $6$.

Всего $3+2+1=6$ долек — весь блин.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=\frac{6}{6}=1.$

Раздача: старший внук $\frac{1}{2}$, средний $\frac{1}{3}$, младший $\frac{1}{6}$.

Бонус — все раздачи

Знаменатели упорядочим: $a\le b\le c$ (и все три разные). Достаточно найти все такие тройки.

Зачем упорядочили: каждая неупорядоченная тройка соответствует ровно одной упорядоченной — это устраняет дубли.

Ограничение на $a$. Поскольку $\frac{1}{a}$ — самая большая из трёх дробей, $\frac{1}{a}\ge \frac{1}{3}$ (иначе все три меньше $\frac{1}{3}$ и сумма меньше $1$). Значит $a\le 3$.

• $a=1$: тогда $\frac{1}{a}=1$, сумма уже $=1$ без двух остальных. Не подходит.
• $a=2$: нужно $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$. Упорядочим $b<c$: $\frac{1}{b}$ — большая из двух, значит $\frac{1}{b}\ge \frac{1}{4}$, то есть $b\le 4$.
  • $b=2$ — повтор с $a$, не годится.
  • $b=3$: $\frac{1}{c}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$, $c=6$. Тройка $(2,3,6)$ ✓.
  • $b=4$: $\frac{1}{c}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$, $c=4$. Повтор с $b$, не годится.
• $a=3$: $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{3}$, $b\ge 4$. Но $\frac{1}{b}\le \frac{1}{4}$, $\frac{1}{c}\le \frac{1}{4}$, сумма $\le \frac{1}{2}<\frac{2}{3}$. Не подходит.

Единственная тройка — $(2,3,6)$.

Для продвинутых — доказательство единственности

Оценка сверху: если все три знаменателя $\ge 4$, то каждая дробь $\le \frac{1}{4}$, сумма $\le \frac{3}{4}<1$. Значит хотя бы один знаменатель $<4$, то есть наименьший знаменатель $a\in \{2,3\}$ (случай $a=1$ исключён — одна дробь уже равна $1$).

Дальше — ровно разбор из бонуса. Он исчерпывает все случаи и даёт одну тройку $(2,3,6)$.

Три внука, блин — один. Режем блин на $6$ долек: старший забирает половину ($3$ дольки), средний — треть ($2$ дольки), младший — шестую часть ($1$ долька). $3+2+1=6$ — весь блин.

Быстрый жест: общий знаменатель $6$ показывает всю раздачу одним числом — на $6$ частей и сумма числителей тоже $6$.

Здесь: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1$, потому что $3+2+1=6$ — общий знаменатель. Работает приём «общий знаменатель показывает всю сумму единичных дробей сразу»: переводишь все в шестые, смотришь, сложились ли числители в знаменатель. Не работает, когда знаменатели не имеют удобного общего (например, $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}$) — там остаётся только прямой подсчёт.