Задача

$\frac{1}{3}+\frac{6}{9}=1.$

Это одно из нескольких решений — всего их восемь (см. полный список в решении).

Мотив: сумма двух дробей равна $1$ — значит вторая дробь это $1$ минус первая. Если перевести обе к общему знаменателю, сумма числителей должна дать знаменатель.

Стратегия. Пусть дроби $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1$. Простой случай — один знаменатель делит другой. Пусть $d=kb$. Тогда

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ak}{kb}+\frac{c}{kb}=\frac{ak+c}{d}.$

Сумма $=1$, значит $ak+c=d$. Осталось перебрать пары $(b,d)$, для которых $d$ делится на $b$, и найти подходящие $(a,c)$, не повторяя цифр.

Перебор пар знаменателей (считаем $b<d$, чтобы не дублировать):

• $b=2$, $d=4$ ($k=2$): $2a+c=4$, единственная пара $(a,c)=(1,2)$ — цифра $2$ уже в знаменателе, не годится.
• $b=2$, $d=6$ ($k=3$): $3a+c=6$, пара $(1,3)$ → $\frac{1}{2}+\frac{3}{6}=1$. Цифры $\{1,2,3,6\}$ ✓.
• $b=2$, $d=8$ ($k=4$): $4a+c=8$, пара $(1,4)$ → $\frac{1}{2}+\frac{4}{8}=1$. Цифры $\{1,2,4,8\}$ ✓.
• $b=3$, $d=6$ ($k=2$): $2a+c=6$, пара $(1,4)$ → $\frac{1}{3}+\frac{4}{6}=1$. Цифры $\{1,3,4,6\}$ ✓.
• $b=3$, $d=9$ ($k=3$): $3a+c=9$, пара $(1,6)$ → $\frac{1}{3}+\frac{6}{9}=1$. Цифры $\{1,3,6,9\}$ ✓.
• $b=4$, $d=8$ ($k=2$): $2a+c=8$, пары $(1,6)$ и $(3,2)$ → $\frac{1}{4}+\frac{6}{8}=1$ (цифры $\{1,4,6,8\}$) и $\frac{3}{4}+\frac{2}{8}=1$ (цифры $\{2,3,4,8\}$) ✓.

Случаи, где ни один знаменатель не делит другой. Стратегия выше их не ловит — но их всего два, потому что сумма $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1$ через общий знаменатель $bd$ требует $ad+cb=bd$, и небольшие знаменатели перебираются вручную:

• $b=6$, $d=8$: $\frac{3}{6}+\frac{4}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Цифры $\{3,4,6,8\}$ ✓.
• $b=6$, $d=9$: $\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$. Цифры $\{3,4,6,9\}$ ✓.

Все восемь решений:

1. $\frac{1}{2}+\frac{3}{6}=1$ — цифры $\{1,2,3,6\}$.
2. $\frac{1}{2}+\frac{4}{8}=1$ — цифры $\{1,2,4,8\}$.
3. $\frac{1}{3}+\frac{4}{6}=1$ — цифры $\{1,3,4,6\}$.
4. $\frac{1}{3}+\frac{6}{9}=1$ — цифры $\{1,3,6,9\}$.
5. $\frac{1}{4}+\frac{6}{8}=1$ — цифры $\{1,4,6,8\}$.
6. $\frac{3}{4}+\frac{2}{8}=1$ — цифры $\{2,3,4,8\}$.
7. $\frac{3}{6}+\frac{4}{8}=1$ — цифры $\{3,4,6,8\}$.
8. $\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=1$ — цифры $\{3,4,6,9\}$.

Любое из них — правильный ответ.

Проверка любого решения: приведи дроби к общему знаменателю и убедись, что сумма числителей равна знаменателю. Для $\frac{1}{3}+\frac{6}{9}$: $\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$, $\frac{3}{9}+\frac{6}{9}=\frac{9}{9}=1$ ✓.

Смотри: две дроби в сумме дают $1$. Значит первая + вторая = целое — как $\frac{1}{3}$ блина $+\frac{2}{3}$ блина $=1$ блин.

Быстрый жест: подбирай второй знаменатель кратным первому. Тогда при приведении к общему знаменателю сумма числителей даёт сам знаменатель — и подбор становится простым.

Пример: фиксируем $\frac{1}{3}$. Ищем вторую дробь со знаменателем $6$ или $9$. Для $9$: $\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$, значит вторая = $\frac{6}{9}$. Проверяем цифры: $\{1,3,6,9\}$ — все разные. Подошло.

У нас $\frac{1}{3}+\frac{6}{9}=1$, цифры $\{1,3,6,9\}$ — все разные, равенство готово.

Здесь: $\frac{1}{3}+\frac{6}{9}=1$, потому что $9=3\cdot 3$ (значит $k=3$), числитель первой $\cdot k$ плюс числитель второй $=$ знаменатель второй: $1\cdot 3+6=9$. Работает приём «пусть один знаменатель кратен другому»: фиксируешь пару $b$ и $d=kb$, решаешь уравнение $ak+c=d$ в малых целых, отсекаешь повторы цифр. Не работает, когда знаменатели взаимно простые (например, $b=3$, $d=7$) — там переход к их произведению, и среди цифр $1-9$ дроби уже редко складываются в целое.