Задача

Мотив: «какая часть продана» — это отношение $\frac{\text{продано}}{\text{всего}}=\frac{30}{45}$. Нужно сократить до несократимой.

Находим НОД$(30,45)$.

• делители $30$: $1,2,3,5,6,10,15,30$;
• делители $45$: $1,3,5,9,15,45$.

Общие: $1,3,5,15$. Наибольший — $15$.

Делим. $30:15=2$, $45:15=3$.

$\frac{30}{45}=\frac{2}{3}.$

Проверка несократимости: $2$ и $3$ — простые, общих делителей кроме $1$ нет. Ответ: продали $\frac{2}{3}$ пирожков.

На ярмарке было $45$ пирожков, продали $30$. Доля проданного — $\frac{30}{45}$.

Сокращаем. $\text{НОД}(30,45)=15$ — это самый большой общий делитель ($30$ и $45$ оба делятся на $15$ ровно). Делим верх и низ на $15$: $\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$.

Почему на $15$, а не проще? $30$ и $45$ оба делятся на $3$ и на $5$ — можно сокращать пошагово ($\frac{30}{45}\to \frac{10}{15}\to \frac{2}{3}$, два шага). Сразу на $\text{НОД}=15=3\cdot 5$ — один шаг, одна операция, дробь гарантированно несократимая.

Итог: продали $\frac{2}{3}$ пирожков.

Если застрял:

1. (метакогнитивная) Запиши отношение «продано из всех» как дробь. Что в числителе, что в знаменателе?
2. (концептуальная) Дробь $\frac{30}{45}$ — это $30$ из $45$. Чтобы записать в несократимом виде, разделим верх и низ на наибольший общий делитель.
3. (процедурная) Оба числа делятся на $3$ (сумма цифр $3,9$) и на $5$ (хвосты $0$ и $5$), значит на $15$. $30:15=2$, $45:15=3$. Ответ $\frac{2}{3}$.

Здесь: $\text{НОД}(30,45)=15$, потому что оба числа делятся и на $3$ (сумма цифр), и на $5$ (хвост), а $3\cdot 5=15$. Работает приём «собери НОД из признаков делимости»: если оба числа одновременно проходят несколько признаков (на $2$, на $3$, на $5$), то их НОД включает произведение этих простых. Не работает, когда общие делители — простые выше $7$ (например, $\text{НОД}(91,143)=13$) — там признаки не помогают, нужно делить напрямую.