Задача

Мотив: сложить $\frac{2}{9}+\frac{1}{6}$. Знаменатели разные — приведём к общему $\text{НОК}(9,6)$, сложим, проверим несократимость.

Ищем НОК.

• кратные $9$: $9,18,27,36,\dots$
• кратные $6$: $6,12,18,24,\dots$

Первое общее — $18$. Значит $\text{НОК}(9,6)=18$.

Приводим.

$\frac{2}{9}=\frac{2\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac{4}{18},\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 3}{6\cdot 3}=\frac{3}{18}.$

Складываем.

$\frac{4}{18}+\frac{3}{18}=\frac{7}{18}.$

Проверка несократимости. Делители $7$: $\{1,7\}$ ($7$ — простое). Делители $18$: $\{1,2,3,6,9,18\}$. Общих, кроме $1$, нет. $\frac{7}{18}$ несократима.

Ответ: $\frac{7}{18}$ пирога съели вместе.

Ваня съел $\frac{2}{9}$ пирога, Маша $\frac{1}{6}$. Чтобы сложить — нужен общий знаменатель. Смотрим на две линейки: кратные $9$ — $9,18$; кратные $6$ — $6,12,18$. Первая общая отметка — $18$, это $\text{НОК}(9,6)$.

Приводим: $\frac{2}{9}=\frac{4}{18}$ (умножили верх и низ на $2$), $\frac{1}{6}=\frac{3}{18}$ (на $3$). Складываем: $\frac{4+3}{18}=\frac{7}{18}$.

Проверяем: $7$ — простое число, $18$ на $7$ не делится. Значит $\text{НОД}(7,18)=1$ — дробь уже несократимая.

Вместе съели $\frac{7}{18}$ пирога — чуть меньше половины.

Если застрял:

1. (метакогнитивная) Какое число делится и на $9$, и на $6$? Самое маленькое?
2. (концептуальная) Общий знаменатель — это НОК знаменателей. Ищем первую общую отметку на двух линейках.
3. (процедурная) $\text{НОК}(9,6)=18$. $\frac{2}{9}=\frac{4}{18}$, $\frac{1}{6}=\frac{3}{18}$. Сумма $\frac{7}{18}$.

Здесь: $\text{НОК}(9,6)=18$, сумма $\frac{4+3}{18}=\frac{7}{18}$ — сразу несократимая, потому что $7$ простое. Работает приём «НОК для общего знаменателя, НОД для проверки ответа»: два инструмента делимости, два места в задаче. Если в ответе числитель простое и не равен знаменателю — проверка тривиальна (дробь уже несократима). Не работает как автоматика: если числитель составной ($4,6,8,\dots$), проверка обязательна — например, если бы получилось $\frac{6}{18}$, это ещё сокращается до $\frac{1}{3}$.